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      ?600567山鷹紙業,如何迭代?韻律中的分形藝術!

      分形交易策略2022-04-07 16:01:50



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      2韻律中的分形藝術


      聲音,紛繁多變。有時被稱為樂音,有時被稱為噪音,其區分標準一般在于,是否能夠給收聽者帶來身心愉悅的感受,是否具有一定的藝術性。然而這樣寬泛的概念,是不是也能用數學量化的標準予以清晰地呈現呢? 來看看下面這些用圖像來呈現音樂的嘗試:



      早已有研究表明,美妙的音樂篇章,尤其是古典音樂和交響樂中,蘊含著許多奇妙的分形藝術。首先,我們來介紹一下,白噪聲、紅噪聲和粉紅噪聲,由此引出 “音樂中的分形” 這一概念。


      樂音中的分形


      白噪聲,白噪聲(white noise)是功率譜密度在整個頻域內均勻分布的聲音類型。就像光學中的白光,是由所有頻率的可見光混合得到的一樣。理想的白噪音,就是把人耳能接收到的所有頻率的聲音同時發出。最為我們所熟悉的白噪聲,就是在收聽廣播時候,在有節目的頻段上所聽到的電波聲,還有磁帶空白處的聲音。類似于,沙沙沙,沙沙沙。這樣的聲音聽起來,前后基本一致,可預測性最強,隨機性最弱。


      紅噪聲,與之對應,另外一個極端的聲音現象是布朗噪聲(brown noise),也叫做 “紅噪聲”。與物理中布朗運動的概念類似,這種聲音的前后音程差,是微小的、隨機的、無規律的變化??梢栽O想,就像是第一次見到鋼琴的小孩子,他用一個手指在琴鍵上亂彈一通。這種聲音毫無規律可循,也沒有美感可言,隨機性最強,可預測性最弱。


      (圖 1)從左到右邊分別為:白噪聲、紅噪聲(布朗噪聲)、粉紅噪聲(1/f 噪聲);上排表示聲波分布,下排表示在頻域的分布情況。


      就像世界上的諸多事物一樣,美好的東西總是尋求一個平衡(balance)。那么,在可預測性和隨機性之間,是不是也存在一個平衡的界限,對應著美妙的樂音呢?答案是肯定的。這就是 “1/f 噪聲”(1/f noise),又稱為 “粉紅噪聲”(pink noise)。


      粉紅噪聲 ?從時間域的波形來看,粉紅噪聲的聲波圖像具有分形的結構。從頻域—能量的角度分析,其能量從低頻向高頻不斷衰減,曲線為 1/f,通常為每 8 度下降 3 分貝。最初的科學研究中,常利用 “1/f 噪聲” 模擬出瀑布、刮風或是下雨,這種自然界中渾然天成的聲音。對大量樂譜的分析也早已證實,多數猶如天籟之音的世界名曲,均屬于粉紅噪聲。


      節奏中的分形


      上面所考慮的分形都是對于 “音高”(pitch)而言。近日,PNAS 上刊發了一篇文章,Daniel Levitin 教授率領的研究團隊,對于音樂的 “節奏”(rhythm)進行了研究。他們發現,在諸多樂曲的節奏中,也蘊含著類似的分形結構 ?。


      作者在論文開頭寫道: “音樂中有拍子,并且拍子出現的規律會有一定的重復性。我們通常無法預測下一個旋律的轉折點會怎樣演繹,但卻能夠在靜靜聆聽的過程中,感覺到音樂的轉折點何時將要到來?!?于是,可以猜測,在看似無跡可尋的韻律中,或許也有類似的分形結構。


      (圖 2)對貝多芬四重奏的樂段節選進行節奏分析,A 為樂譜,B 為 1/f 分布,C 為 1/f 的指數化處理,得到類似于正態分布的結果。


      如上面(圖 2)中的樂譜,可以看到樂曲中各音符之間的間隔并無規律可循。但是,如果從頻域的角度來考慮,就會得到不一樣的結果。通過對進一個世紀以來的大量音樂作品進行分析,研究人員發現,音符和休止出現的頻率和持續的時間(temporal / rhythmic),也遵循 ?“1/f 分布”(1/f ?distribution)。而在頻域上的 “1/f 分布”,對應在時間域上即為分形曲線。


      節奏中的分形結構聽起來或許有些抽象,但它卻可以用來區分不同的音樂流派和作曲風格。


      研究人員稱,他們分析了不同的音樂流派及不同作曲者的大量作品,得到各自的 “1/f 分布”,再將其做進一步的指數化處理,可以得到一個類似于正態分布,有對應的均值和方差。結果發現,不同的 “均值” 對應著不同的音樂風格。大的 “均值” 對應著較強的可預測性,而均值較小則表明樂曲節奏較為平穩。


      這與直觀上的聽覺體驗基本一致。例如,滑稽音和詼諧曲的均值,比交響樂和抒情曲要大,表明其曲風多變,無章可循,從而營造出始料未及的藝術效果。同樣,貝多芬、海頓和莫扎特同為一個時期的作曲家,但他們樂譜的分形特征卻各不相同;而間隔了幾個世紀的作品,比如蒙特威爾第和喬普林的樂譜,則呈現出類似的節奏模式。


      (圖 3)上下兩組圖片分別表示不同作曲家和不同音樂流派所對應的 “均值”。主要看 E 這一列,縱軸代表流派,橫軸代表均值大小。均值越大,音樂節奏的可預測性就越大,反之預測性就越小??梢?,作曲家中,貝多芬的可預測性最強,而莫扎特則是隨機性很強;在不同的音樂流派中,交響樂的可預測性最強,而拉格泰姆調(Ragtime)的隨機性最強。


      從(圖 3)中可以看出,莫扎特和喬普林作品的 “均值” 都比較低,風格也就類似; 貝多芬和維瓦爾第的 “均值” 都較高,其作品節奏變化也較為接近。這一結果表明,音樂節奏的分形變化,可能是植根于人類大腦中的作曲能力的基本屬性。研究人員稱,不同作曲家獨特的風格特征,很可能是他們各自讓節奏的分形發生變化的嘗試。


      根據這一結果,我們可以進一步大膽設想,開發出一套自動編曲的軟件,先通過 “1/f分布” 曲線創作出對應節奏,再隨機填入音符,是否一定能得到曼妙的樂章呢? 不過,該路數的創作結果,一定與之前僅考慮音高上的創作出的 “分形音樂” 截然不同。至于孰優孰劣,當然要由聽眾來做評判。


      順便說一句,這位 Daniel Levitin 教授,不僅是一位音樂家,還是著名的腦神經科學家。他在其著作 “This is Your Brain on Music” 一書的開篇,就表明了自己對音樂和科學的熱愛,并解釋了自己為何要研究音樂與科學之間的聯系?;蛟S正是擁有這般對自己的興趣,孜孜以求的鉆研精神,才有可能發現隱藏在美好事物背后的那些神秘的魅力。


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